Question

如圖，BC為半圓的直徑，O為圓心，D為AC的中點，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E．
（1）△ABE與△DBC相似嗎？請說明理由；
（2）若BC=5，CD=

5

，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的條件下求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）由BC為半圓的直徑，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可證得）△ABE與△DBC相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可得∠AEB=∠DCB，則由sin∠AEB=sin∠DCB即可求得sin∠AEB的值；
（3）先判斷△DCE∽△DBC，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得弦AB的長．

解答：解：（1）∵BC為半圓的直徑，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=

5

，
∴BD=

BC2-CD2

=2

5

，
∴sin∠AEB=sin∠DCB=

BD

BC

=

2 5

5

；

（3）∵D為AC的中點，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴

DC

DB

=

DE

DC

，
∴DE=

DC2

DB

=

5

2

，
∴BE=BD-DE=

3 5

2

，
∴AB=BE•sin∠AEB=

3 5

2

•

2 5

5

=3．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角的性質，以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是數形結合思想的應用．