Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中．直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，連結(jié)AC，A(-1,0)

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，求四邊形OCPB面積S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值；

（3）若M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線BC上，點(diǎn)N在直線BM上，Q，M，N三點(diǎn)構(gòu)成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y==﹣x2+2x+3；（2）S=﹣（m﹣）2+，當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）或（﹣1，8）

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)直線BC的解析式求出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

（2）作高線PE，利用面積和求四邊形OCPB面積S，并配方成頂點(diǎn)式，求其最值；

（3）先將拋物線配方成頂點(diǎn)式求M（1，4），利用待定系數(shù)法求直線MB的解析式，利用解析式分別表示N、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

分兩種情況：①當(dāng)N在射線MB上時(shí)，如圖2，

過(guò)Q作EF∥y軸，分別過(guò)M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，證明△EMQ≌△FQN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)EM=FQ，EQ=FN，列方程組解出即可；

②當(dāng)N在射線BM上時(shí)，如圖3，同理可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

當(dāng)y=0時(shí)，-x+3=0，

x=3，

∴B（3，0），

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），

把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），

a=-1，

∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）如圖1，過(guò)P作PE⊥x軸于E，

∵P（m，n），

∴OE=m，BE=3-m，PE=n，

S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BEPE，

=m（n+3）+n（3-m），

=m+n，

∵n=-m2+2m+3，

∴S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，

當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；

（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴M（1，4），

設(shè)直線BM的解析式為：y=kx+b，

把B（3，0），M（1，4）代入得： ，解得： ，

∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，

設(shè)N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），

分兩種情況：

①當(dāng)N在射線MB上時(shí)，如圖2，

過(guò)Q作EF∥y軸，分別過(guò)M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，

∵△EQN是等腰直角三角形，

∴MQ=QN，∠MQN=90°，

∴∠EQM+∠FQN=90°，

∵∠EQM+∠EMQ=90°，

∴∠FQN=∠EMQ，

∵∠QEM=∠QFN=90°，

∴△EMQ≌△FQN，

∴EM=FQ，EQ=FN，

∴，解得： ，

當(dāng)a=2時(shí)，y=-2a+6=-2×2+6=2，

∴N（2，2），

②當(dāng)N在射線BM上時(shí)，如圖3，

同理作輔助線，得△ENQ≌△FQM，

∴EN=FQ，EQ=FM，

∴，解得： ，

∴N（-1，8），

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2）或（-1，8）．