如圖,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),它們的速度均為2cm/s.連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位:s)(0≤t≤4).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ∥BC.
(2)設(shè)△AQP的面積為S(單位:cm2),當(dāng)t為何值時(shí),S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)證△APQ∽△ABC,推出=,代入得出=,求出方程的解即可
(2)求出∠C=90°,過(guò)P作PD⊥AC于D,證△APD∽△ABC,代入得出方程=,求出PD=(10-2t),根據(jù)三角形的面積公式求出即可;
(3)假設(shè)存在某時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分,得出方程-t2+6t=××8×6,求出此方程無(wú)解,即可得出答案.
解答:解:(1)由題意知:BP=2t,AP=10-2t,AQ=2t,
∵PQ∥BC,
∴△APQ∽△ABC,
=,
=,
t=,
即當(dāng)t為s時(shí),PQ∥BC;

(2)∵AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB2=AC2+BC2
∴∠C=90°,
過(guò)P作PD⊥AC于D,
則PD∥BC,
∴△APD∽△ABC,
=,
=,
PD=(10-2t),
∴S=AQ•PD=•2t•(10-2t)=-t2+6t=-(t-2+7.5,
∵-<0,開(kāi)口向下,有最大值,
當(dāng)t=秒時(shí),S的最大值是7.5cm2

(3)假設(shè)存在某時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分,
則S△APQ=S△ABC
即-t2+6t=××8×6
t2-5t+10=0,
∵△=52-4×1×10=-15<0,
∴此方程無(wú)解,
即不存在某時(shí)刻t,使線(xiàn)段PQ恰好把△ABC的面積平分.
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積,二次函數(shù)的最值,勾股定理的逆定理,相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
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求證:EF≥
12
BC.

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如圖,已知△ABC中,AB=AC,D是BC中點(diǎn),則下列結(jié)論不正確的是( �。�

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