(1)證明:∵∠ACB=90°,點E為邊AB的中點,
∴AE=CE,
∴∠ACE=∠A=30°,
由翻折的性質(zhì)得,∠A′CE=∠ACE,
∴∠BCF=90°-30°×2=30°,
∵BF∥AC,
∴∠CBF=180°-∠ACB=180°-90°=90°,
∴CF=2BF,BC=BF÷tan30°=BF÷
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
BF,
又∵AC=BC÷tan30°=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
BF÷
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22.png)
=3BF,
∴AC=CF+BF;
(2)解:如圖(2),連接A′B,
由翻折的性質(zhì)得,A′E=AE,A′C=AC,∠A=∠CA′E,
∵點E為邊AB的中點,
∴AE=BE,
∴BE=A′E,
∴∠EA′B=∠EBA′,
∵BF∥AC,
∴∠A=∠ABF,
∵∠FA′B=∠EA′B-∠CA′E,
∠FBA′=∠EBA′-∠ABF,
即∠FA′B=∠FBA′,
∴A′F=BF,
∵A′C=CF+A′F,
∴AC=CF+BF;
如圖(3),連接A′B,
由翻折的性質(zhì)得,A′E=AE,A′C=AC,∠A=∠CA′E,
∵點E為邊AB的中點,
∴AE=BE,
∴BE=A′E,
∴∠EA′B=∠EBA′,
∵BF∥AC,
∴∠A+∠ABF=180°,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/536c80364486f.png)
∵∠CA′E+∠EA′F=180°,
∴∠ABF=∠EA′F,
∵∠FA′B=∠EA′F-∠EA′B,
∠FBA′=∠ABF-∠EBA′,
即∠FA′B=∠FBA′,
∴A′F=BF,
∵A′C=CF-A′F,
∴AC=CF-BF;
(3)解:如圖(4),連接A′B,過點F作FG⊥BC于G,
∵BF∥AC,∠ACB=120°,
∴∠CBF=180°-120°=60°,
∴BG=BF•cos60°=6×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
=3,F(xiàn)G=BF•sin60°=6×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/376.png)
=3
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/21.png)
,
∴CG=BC-BG=4-3=1,
在Rt△CGF中,CF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568840.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/568841.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
,
∴AC=BF+CF=6+2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
.
故答案為:6+2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4546.png)
.
分析:(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AE=CE,根據(jù)等邊對等角可得∠ACE=∠A,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠A′CE=∠ACE,然后求出∠BCF=30°,再根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補求出∠CBF=90°,然后用BF表示出CF、BC,再表示出AC,即可得證;
(2)圖(2),連接A′B,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得A′E=AE,A′C=AC,∠A=∠CA′E,根據(jù)中點定義可得AE=BE,從而得到BE=A′E,然后根據(jù)等邊對等角可得∠EA′B=∠EBA′,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠A=∠ABF,然后求出∠FA′B=∠FBA′,根據(jù)等角對等邊可得A′F=BF,再根據(jù)A′C=CF+A′F整理即可得證;圖(3)同理求出A′F=BF,再根據(jù)A′C=CF-A′F整理即可得證;
(3)連接A′B,過點F作FG⊥BC于G,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補求出∠CBF=60°,然后解直角三角形求出BG、FG,再求出CG,然后利用勾股定理列式求出CF,再根據(jù)AC=CF+BF代入數(shù)據(jù)計算即可得解.
點評:本題考查了翻折變換,平行線的性質(zhì),等邊對等角的性質(zhì),解直角三角形,勾股定理的應用,作輔助線構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點.