Question

（本題12分）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，M（m，0）是x軸上一動點，N是線段EF上一點，若∠MNC=90°，請指出實數(shù)m的變化范圍，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（3）  P（，）

（3）≤m≤5

【解析】

試題分析：

解：

（1）由題意得：，解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）令，

∴x₁= -1，x₂=3，即B（3，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b′，

∴，解得：，

∴直線BC的解析式為，

設P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），

∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，

∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB

，

∴當時，△BDC的面積最大，此時P（，）；

（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，

∴OF=1，EF=4，OC=3，

過C作CH⊥EF于H點，則CH=EH=1，

當M在EF左側時，

∵∠MNC=90°，

則△MNF∽△NCH，

∴，

設FN=n，則NH=3-n，

∴，

即n²-3n-m+1=0，

關于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，

得m≥，

當M在EF右側時，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，

作EM⊥CE交x軸于點M，則∠FEM=45°，

∵FM=EF=4，

∴OM=5，

即N為點E時，OM=5，

∴m≤5，

綜上，m的變化范圍為：≤m≤5．

考點：二次函數(shù)的應用

點評：二次函數(shù)的應用是中考的必考題型，考生在解此類問題時一定要注意分析求最大值和最小值所需要函數(shù)解決的問題。