Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，且CDBC=ACCE，以E為圓心，DE長為半徑作圓，⊙E經(jīng)過點(diǎn)B，與AB、BC分別交于點(diǎn)F、G．
（1）求證：AC是⊙E的切線．
（2）若AF=4，CG=5，求⊙E的半徑；
（3）若Rt△ABC的內(nèi)切圓圓心為I，則IE= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CDBC=ACCE，

∴ ，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵點(diǎn)D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切線

（2）①如圖1，

過E作EH⊥AB于H，

∴BH=FH，

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，

∴四邊形AHED是矩形，

∴ED=AH，ED∥AB，

∴∠B=∠DEC，

設(shè)⊙E的半徑為r，則EB=ED=EG=r，

∴BH=FH=AH﹣AF=DE﹣AF=r﹣4，

EC=EG+CG=r+5，

在△BHE和△EDC中，

∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，

∴△BHE∽△EDC，

∴ ，即 ，

∴r=20，

∴⊙E的半徑為20

（3）
【解析】如圖2
過I作IM⊥BC于M，過I作IH⊥AB于H，
由（2）得：FH=BH=r﹣4=20﹣4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC= =27，
∵I是Rt△ABC的內(nèi)心，
∴IM= = =9，
∴AH=IM=9，
∴BH=BM=36﹣9=27，
∴EM=27﹣20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= = = ，
所以答案是： ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心才能正確解答此題．