Question

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G．

①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=4，AD=時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)．

Answer 1

(1) BD=CF成立,證明見解析；（2）①證明見解析；②FG=.

試題分析：(1)證明線段相等的常用方法是三角形的全等，直觀上判 斷BD=CF,而由題目條件，旋轉(zhuǎn)過程中出
現(xiàn)了兩個(gè)三角形△BAD和△CAF，并且包含了要證明相等的兩條線段BD和CF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵四邊形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，只差?yuàn)A角相等，在Rt△BAC中，∠BAD+∠DAC=90°，∠CAF+∠DAC="90°," ∴∠BAD="∠CAF," ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.（2）①要證明BD⊥CF，只要證明∠BGC=90°，即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,在Rt△BAC中，∠ABC+
∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有（1）知，∠ACF=∠ABG，所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+
∠ABG +∠ACB =90°，所以BD⊥CF.②求線段的方法一般是三角形的全等和勾股定理，題目中沒有和FG直接相關(guān)的線段，而CG從已知條件中又無法求出，所以需要作輔助線，連接FD，交AC于點(diǎn)N, 在正方形ADEF中，AD=DE=, AN="1," CN=3,由勾股定理CF=，設(shè)FG=x，CG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=，∵在Rt△BCG中，，
∴，解之得FG=.
試題解析：②解法一：
如圖，連接FD，交AC于點(diǎn)N,

∵在正方形ADEF中，AD=DE=,
∴AN=FN=AE=1，F(xiàn)D=2,
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，∴CN=AC-AN=3，
∴在Rt△FCN中，,
∵△BAD≌△CAF（已證），∴BD=CF=,
設(shè)FG=，在Rt△FGD中，∵FD=2，∴GD=,
∵CF=，∴CG=,
∵在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，
∴,
∵在Rt△BCG中，,
∴ , 
整理，得,
解之，得，（不合題意，故舍去）
∴FG=.
解法二：
如圖，連接FD，交AC于點(diǎn)N；連接CD,

同解法一，可得：DG=，CG=，
易證△ACD≌△ABD（SAS），可得CD=BD=，  
在Rt△CGD中，,即
解之，得,故FG= .