Question

如圖，為直徑，且弦于，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

（1）若是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于．求證：；
（2）若，求的半徑．

Answer 1

解：（1）證明：連接．

為的直徑，且于，
由垂徑定理得：點(diǎn)是的中點(diǎn)．
又是的中點(diǎn)
是的中位線

為直徑，，
即
（2）如圖，連接

與同對(duì)，

為的切線，
在中，
設(shè)，則，由勾股定理得：· 7分
又為直徑，


即        
直徑  則的半徑為

（1）連接AC．欲求MN⊥BC，只需證MN∥AC即可．由于直徑AB⊥CD，由垂徑定理知E是CD中點(diǎn)，而M是AD的中點(diǎn)，故EM是△ACD的中位線，可得ME（即MN）∥AC，由此得證；
（2）由于∠A、∠C所對(duì)的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例關(guān)系，用未知數(shù)表示出它們的長(zhǎng)；
連接BD，證△BDF∽△ABF，根據(jù)所得比例線段即可求得未知數(shù)的值（也可利用切割線定理求解），從而得到直徑AB的長(zhǎng)，也就能求出⊙O的半徑．