Question

△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)F、G分別落在AC、AB上．
Ⅰ、證明：△BDG≌△CEF；
Ⅱ、探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫(huà)出正方形．
小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)你喜歡的問(wèn)題解答．如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分．
Ⅱa、小聰想：要畫(huà)出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫(huà)正方形DEFG就容易了．
設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)你幫小聰求出正方形的邊長(zhǎng)．（結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化）
Ⅱb、小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫(huà)出正方形．具體作法是：
①在AB邊上任取一點(diǎn)G′，如圖作正方形G′D′E′F′；
②連接BF′并延長(zhǎng)交AC于F；
③作FE∥F′E′交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G′D′交BC于D，則四邊形DEFG即為所求．
你認(rèn)為小明的作法正確嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°，利用等邊三角形得到∠B=∠C=60°，然后利用全等三角形的判定定理就可以證明了；
2_a．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，可以求出AH的長(zhǎng)，然后根據(jù)△AGF∽△ABC利用其對(duì)應(yīng)邊成比例
可以列出關(guān)于x的方程，然后求出x，也就求出了正方形的邊長(zhǎng)；
2_b．首先作一個(gè)正方形，然后利用位似圖形作圖就可以得到正方形DEFG，利用作法中的平行線可以得到比例線段，再根據(jù)比例線段就可以證明所作的圖形是正方形了．

解答：證明：Ⅰ．∵DEFG為正方形
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°（2分）
∵△ABC是等邊三角形
∴∠B=∠C=60°（3分），
在△BDG和△CEF中，
∵

∠GDB=∠FEC ∠B=∠C GD=EF

，
∴△BDG≌△CEF（AAS）（5分）

Ⅱ解法一：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，
求得AH=

3

（7分）
由△AGF∽△ABC得：

x

2

=

3 -x

3

（9分）
解之得：x=

2 3

2+ 3

（或x=4

3

-6）（10分）
解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BD=

2-x

2

（7分）
在Rt△BDG中，tan∠B=

GD

BD

，
∴

x

2-x 2

=

3

（9分）
解之得：x=

2 3

2+ 3

（或x=4

3

-6）（10分）
解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則AG=GF=x，GB=2-AG=2-x，
則BD=

2-x

2

，GB=2-x（7分）
由勾股定理得：(2-x)2=x2+(

2-x

2

)2（9分）
解之得：x=4

3

-6（10分）
Ⅱb．解：正確（6分）
由已知可知，四邊形GDEF為矩形（7分）
∵FE∥F′E′，
∴△BE′F′∽△BEF，
∴

FE

F′E′

=

FB

F′B

同理

FG

F′G′

=

FB

F′B

∴

FE

F′E′

=

FG

F′G′

又∵F’E’=F’G’
∴FE=FG
∴矩形GDEF為正方形（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形，相似三角形的判定及矩形及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．