Question

銳角△ABC中，AB＞AC，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，過D作BC的垂線交BE于F，交CA的延長線于P，過E作BC的垂線，交CD于G，交BA的延長線于Q，證明：BC、DE、FG三條直線相交于一點．

Answer 1

解：證法1：設(shè)過D、E的垂線分別交BC于M、N，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由射影定理得：CE²=CN•CB，BD²=BM•BC

∴又Rt△CNG∽Rt△CDB，Rt△BMF∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC與Rt△BDC中，由面積關(guān)系得：BE•CE=EN•BC，BD•CD=DM•BC
∴
由（1）（2）得：，∴F、G、T三點共線．

證法2：設(shè)CD、BE相交于點H，則H為△ABC的垂心，記DF、EG、AH與BC的交點分別為M、N、R∵DM∥AR∥EN

∴
由合比定理得：，∴．

證法3：在△ABC中，直線DET分別交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅勞斯定理得：
設(shè)CD、BE相交于點H，則H為△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC∴AH∥DF∥EG
∴
由梅涅勞斯定理的逆定理得：F、G、T三點共線．
證法4：連接FT交EN于G’，易知
為了證明F、G、T三點共線，只需證明即可
∵
又
∴，
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四點共圓
∴∠ABE=∠ACD （2）
又，∴BDsin∠CBE=CEsin∠BCD（3）
將（2）（3）代入（1）得：，故F、G、T三點共線．
分析：此題由4種證法：證法1：設(shè)過D、E的垂線分別交BC于M、N，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由射影定理得：CE²=CN•CB，BD²=BM•BC又Rt△CNG∽Rt△DCB，Rt△BMF∽Rt△BEC，在Rt△BEC與Rt△BDC中，由面積關(guān)系得：BE•CE=EN•BC，BD•CD=DM•BC．由（1）（2）得
證法2：設(shè)CD、BE相交于點H，則H為△ABC的垂心，記DF、EG、AH與BC的交點分別為M、N、R∵DM∥AR∥EN，由合比定理得三點共線，
證法3：在△ABC中，直線DET分別交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅勞斯定理得：
設(shè)CD、BE相交于點H，則H為△ABC的垂心，AH⊥BC，由梅涅勞斯定理的逆定理得：F、G、T三點共線．
證法4：連接FT交EN于G’，易知為了證明F、G、T三點共線，只需證明即可．
點評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，射影定理的理解和掌握，此題解法由4種，用到的定理較多，如果要求把這幾種解法都寫出來，難度較大，那就是一道難題了．