Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，連接CE、DF，將△CBE沿CE對(duì)折，得到△CGE，延長(zhǎng)EG交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H。

（1）求證：CE⊥DF；

（2）求的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）運(yùn)用△BCE≌Rt△CDF（SAS），再利用角的關(guān)系求得∠CKD=90°即可解題．

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，設(shè)CH=x，利用勾股定理求出a與x之間的關(guān)系即可解決問(wèn)題．

（1）證明：設(shè)EC交DF于K．

∵E，F分別是正方形ABCD邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴CF=BE，

在Rt△BCE和Rt△CDF中，

，

∴△BCE≌Rt△CDF（SAS），

∠BCE=∠CDF，

又∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠CDF+∠ECD=90°，

∴∠CKD=90°，

∴CE⊥DF．

（2）解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a．

EB=EG，∠BEC=∠CEG，∠EGC=∠B=90°

∵CD∥AB，

∴∠ECH=∠BEC，∴∠ECH=∠CEH，

∴EH=CH，

∵BE=EG=a，CD=CG=2a，

在Rt△CGH中，設(shè)CH=x，

∴x2=（x-a）2+（2a）2，

∴x=a，

∴GH=EH-EG=a-a=a，

∴．