Question

如圖33，五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，連接AD．求證：AD平分∠CDE．

Answer 1

證一：如圖40，連接AC，將△ABC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°到△AEF．

∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB與AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．

∴D，E，F(xiàn)在一條直線上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC，

∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．

證二：如圖41連接AC．

∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．

∴將△ABC，繞C點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)至

△FGC，同時將△AED繞D點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)至△FGD．

則AB與AE重合成FG，AC旋轉(zhuǎn)后成CF，AC=CF，AD旋轉(zhuǎn)后成DF，AD=DF，CD=CD．

∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．

證三：如圖42．

∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，則FD=BC．連接BF，F(xiàn)E，AF，AC．

在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°，

∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五邊形內(nèi)角和=540°）

∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4．

在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，

在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED，

∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF，

∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE．

證四：如圖43，延長BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延長線引垂線AG，AH，垂足分別為G，H連接AF與CD相交于K．

在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH，

∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH．

在△CDF中，∠FCD=180°-∠BCD=60°，∠CDF=180°-∠CDE．

∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120°

∴∠CDF=60°，∴△CDF是等邊三角形．

∴CD=CF=FD．在Rt△AGF和Rt△AHF中AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF，

∴∠AFG=∠AFH=30°，∴FK平分∠CFD，F(xiàn)K垂直平分CD．又∵BC+DE=CD，BG=EH．

在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD，DK=DH，∴△ADK≌△ADH，∠ADK=∠ADH即AD平分∠CDH．