Question

【題目】兩塊等腰直角三角形紙片和按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)處，，．保持紙片不動(dòng)，將紙片繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．當(dāng)與在同一直線(xiàn)上（如圖2）時(shí)，的正切值等于_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)BD與CD在同一直線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋轉(zhuǎn)可得∠AOC＝∠DOB，證明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，設(shè)AC＝x，則BD＝x，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝，再根據(jù)∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC證明∠ABC＝α，進(jìn)而求出α的正切值．

解：當(dāng)BD與CD在同一直線(xiàn)上（如圖2）時(shí)，

∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，

∴OA＝OB，OC＝OD，

由旋轉(zhuǎn)可知：∠AOC＝∠DOB=α，

∴△AOC≌△BOD（SAS），

∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，

∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，

∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°

∴∠ACB=90°

在RtACB中，設(shè)AC＝x，則BD＝x，

∴BC＝CD＋BD＝4＋x，

∵AB=2，

∴根據(jù)勾股定理，得x2＋（4＋x）2＝（2）2，

解得x＝2或x＝6（舍去），

∴AC＝2，BC＝6，

∴tan∠ABC＝＝，

∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，

∴∠CDO＝∠ABO＝45°，

∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，

∴∠ABC＝∠DOB，

由旋轉(zhuǎn)可知：∠AOC＝∠DOB＝α，

∴∠ABC＝α，

∴tanα＝，

故答案為：．