Question

 如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P在邊CD上，且與點(diǎn)C、 D不重合，過點(diǎn)A作AP的垂線與CB的延長線相交于點(diǎn)Q，連接PQ，PQ的中點(diǎn)為M.

(1)求證：△ADP∽△ABQ；

(2)若AD=10，AB=20，點(diǎn)P在邊CD上運(yùn)動(dòng)，設(shè)DP=x, BM ²=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長的最小值；

(3)若AD=10, AB=a， DP=8，隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍。

Answer 1

解：(1)證明：∵ 四邊形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90°

∵∠ABC+∠ABQ=180°

∴∠ABQ=∠ADP =90°

∵AQ⊥AP   ∴∠PAQ=90°

∴∠QAB+ ∠BAP=90°

又∵∠PAD+∠BAP=90°

∴∠PAD=∠QAB

在△ADP與△ABQ中

∵

∴△ADP∽△ABQ

（2）如圖，作MN⊥QC，則∠QNM=∠QCD=90°

又∵∠MQN=∠PQC

∴△MQN∽△PQC  ∴

∵點(diǎn)M是PQ的中點(diǎn)  ∴

∴

又∵

∴ 

∵△ADP∽△ABQ

∴     ∴

∵

∴

在Rt△MBN中，由勾股定理得：

即：   

當(dāng)即時(shí)，線段BM長的最小值.

 (3)如圖，當(dāng)點(diǎn)PQ中點(diǎn)M落在AB上時(shí)，此時(shí)QB=BC=10

由△ADP∽△ABQ得解得：

∴隨著a的大小的變化，點(diǎn)M的位置也在變化，

當(dāng)點(diǎn)M落在矩形ABCD外部時(shí)，求a的取值范圍為：