Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．

（1）求證： ；

（2）設EF＝x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值；

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設運動時間為t秒，矩形EFFQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當x＝5時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20；（3）

【解析】試題分析：（1）本題利用相似三角形的性質——相似三角形的對應邊上的高之比等于相似比解決；（2）根據第一問的結論，即可根據矩形的面積公式得到關于矩形EFPQ的面積和x的函數關系式，根據函數的性質即可得到矩形的最大面積及對應的x的值；（3）此題要理清幾個關鍵點，當矩形的面積最大時，由（2）可知此時EF=5，EQ=4；易證得△CPF是等腰Rt△，則PC=PF=4，QC=QP+PC=9；
一、P、C重合時，矩形移動的距離為PC（即4），運動的時間為4s；
二、E在線段AC上時，矩形移動的距離為9-4=5，運動的時間為5s；
三、Q、C重合時，矩形運動的距離為QC（即9），運動的時間為9s；
所以本題要分三種情況，分別寫出解析式即可.

試題解析：

（1）∵ 四邊形EFPQ是矩形，∴ EF∥QP．∴ △AEF∽△ABC．

又∵ AD⊥BC，

∴ AH⊥EF,∴

（2）由（1）得，∴ AH＝x．

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－x，

∴ S矩形EFPQ＝EF·EQ＝x (8－x) ＝－x2＋8 x＝－（x－5）2＋20．

∵ －＜0， ∴ 當x＝5時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20．

（3）如圖1，由（2）

得EF＝5，EQ＝4．

∵∠C＝45°，∴ △FPC是等腰直角三角形．

∴ PC＝FP＝EQ=4，QC＝QP＋PC＝9．

分三種情況討論：① 如圖2．當0≤t＜4時，

設EF、PF分別交AC于點M、N，則△MFN是等腰直角三角形,

∴ FN＝MF＝t．

∴S＝S矩形EFPQ－SRt△MFN=20－t2＝－t2＋20；

②如圖3，當4≤t<5時，則ME＝5－t，QC＝9－t．

∴ S＝S梯形EMCQ＝ [（5－t）＋（9－t ）]×4＝－4t＋28；

③如圖4，當5≤t≤9時，設EQ交AC于點K，則KQ=QC＝9－t．

∴ S＝S△KQC= (9－t)2＝ ( t－9)2．

綜上所述：S與t的函數關系式為：