Question

【題目】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

（1）如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把、、集中在中，利用三角形的三邊關(guān)系可得，則；

（2）問題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．

①求證：；

②如圖3，若，探索線段、、之間的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（2）①見解析；②

【解析】

（2）①可按閱讀理解中的方法構(gòu)造全等，把CF和BE轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解；

②由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三邊之間存在勾股定理關(guān)系．

解：（2）①把△CFD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD，

∴CF=BG，DF=DG，

∵DE⊥DF，

∴EF=EG．

在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

②若∠A=90°，則∠EBC+∠FCB=90°，

由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，

∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，

∴在Rt△EBG中，

∴．

、、之間的等量關(guān)系為