Question

試找出由0，1，2，3，4，5，6這7個數字組成的沒有重復數字的七位數中，能被165整除的最大數和最小數（要求寫出推理過程）．

Answer 1

【答案】分析：先把165分解成幾個整數的積的形式，再判斷出此7位數能被165整除的條件是排成的7位數只需能同時被11，5整除，據能被11整除的數的性質，設7位數奇位上的數字和為x，偶數位上的數字和為y，則
x-y是11的倍數而x-y與x+y的奇偶性相同，且x+y=21，求出x、y的值，再根據次數可被7整除則其末位數必為0或5，根據此條件將這一組數進行分類即可求解．
解答：解：∵165=3×5×11
∴此7位數必同時能被3，5，11整除，而0+1+2+3+4+5+6=21能被3整除，
∴排成的7位數只需能同時被11，5整除即可，
根據能被11整除的數的性質，設7位數奇位上的數字和為x，偶數位上的數字和為y，則
x-y是11的倍數而x-y與x+y的奇偶性相同，且x+y=21，
∴只有x-y=11或-11，即x=5，y=16或x=16，y=5
∵7位數能被5整除，
∴其末位數必為0或5，
當末位數必為0或5時，找不到4個數的和為5，
∴只有x=16，y=5，即該7位數的奇數位上的數字和為16，偶數位上的數字和為5，且其末位數必為5．
只有兩組分法：
①、奇數位上的數字（1，4，6，5），偶數位上的數字（0，2，3）
②、奇數位上的數字（2，3，5，6）偶數位上的數字（0，1，4）
①中最大數和最小數分別為6342105和1042635；②中最大數和最小數分別為6431205和2031645
∴所求的最大數和最小數分別為6431205和1042635．
故答案為：6431205和1042635．
點評：本題考查的是數的整除性問題，熟知能同時被3、7、11整除的數的特點是解答此題的關鍵．