Question

（2013•天津）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．
①設(shè)AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值時(shí)點(diǎn)E′的坐標(biāo)；
②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)相似三角形△OAE∽△OBA的對(duì)應(yīng)邊成比例得到

OA

OB

=

OE

OA

，則易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B²=（2-m）²+4²=m²-4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′²=E′E²+BE²=m²+9，則
A′B²+BE′²=2m²-4m+29=2（m-1）²+27．所以由二次函數(shù)最值的求法知，當(dāng)m=1即點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）時(shí)，A′B²+BE′²取得最小值．

解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴

OA

OB

=

OE

OA

，即

2

4

=

OE

2

，
解得OE=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）；

（Ⅱ）①如圖②，連接EE′．
由題設(shè)知AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2-m．
在Rt△A′BO中，由A′B²=A′O²+BO²，得A′B²=（2-m）²+4²=m²-4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又∵BE=OB-OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′²=E′E²+BE²=m²+9，
∴A′B²+BE′²=2m²-4m+29=2（m-1）²+27．
當(dāng)m=1時(shí)，A′B²+BE′²可以取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（1，1）．

②如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易證△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
當(dāng)點(diǎn)B、A′、B′在同一條直線上時(shí)，A′B+B′A′最小，即此時(shí)A′B+BE′取得最小值．
易證△AB′A′∽△OBA′，
∴

AA′

A′O

=

AB′

OB

=

3

4

，
∴AA′=

3

7

×2=

6

7

，
∴EE′=AA′=

6

7

，
∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)是（

6

7

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．此題難度較大，需要學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握．