Question

設(shè)菱形的周長(zhǎng)為20，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)是方程x²-（2m-1）x+4m-4=0的兩個(gè)根，則m的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   或
4. D.
   以上答案都不對(duì)

Answer 1

A
分析：先根據(jù)菱形的四邊相等及周長(zhǎng)公式求出此菱形的邊長(zhǎng)為5．設(shè)菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為α，β，那么由根與系數(shù)的關(guān)系，可得α+β=2m-1①，α•β=4m-4②．再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分及勾股定理可知，（）²+（）²=5²，把①②兩式分別代入，得到一個(gè)關(guān)于m的一元二次方程，運(yùn)用因式分解法求出此方程的根，最后根據(jù)判別式及α，β表示的實(shí)際意義確定m的值．
解答：解：如圖．∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，
∴AB=5．
設(shè)菱形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為α，β，則α，β是方程x²-（2m-1）x+4m-4=0的兩個(gè)根，
∴α+β=2m-1 ①，α•β=4m-4 ②．
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，
∴OA²+OB²=AB²，
即（）²+（）²=5²，
∴α²+β²=100，
∴（α+β）²-2αβ=100，
把①②兩式分別代入，得（2m-1）²-2（4m-4）=100，
整理，得4m²-12m-91=0，
解得m=或-．
當(dāng)m=時(shí)，△=144-88＞0，
當(dāng)m=-時(shí)，△=64+72＞0，
∴m=或-都是原方程的根．
又當(dāng)m=-時(shí)，α+β=2m-1=-8＜0，α•β=4m-4=-18，
∴α與β一正一負(fù)，這與α，β表示對(duì)角線長(zhǎng)相矛盾．
∴m≠-．
∴m=．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用．綜合性較強(qiáng)，難度中等．注意運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時(shí)，需要用判別式進(jìn)行檢驗(yàn)，此外，本題還需結(jié)合實(shí)際意義舍去不符合要求的m的值．