Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M₀的坐標(biāo)為（1，0），將線段OM₀繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到線段OM₁；又將線段OM₁繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到線段OM₂，如此下去，得到線段OM₃，OM₄，…，則點(diǎn)M₁的坐標(biāo)是

（1，1）

，點(diǎn)M₅的坐標(biāo)是

（-4，-4）

；若把點(diǎn)M_n（x_n，y_n）（n是自然數(shù)）的橫坐標(biāo)x_n，縱坐標(biāo)y_n都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)（|x_n|，|y_n|）稱之為點(diǎn)M_n的絕對(duì)坐標(biāo)，則點(diǎn)M_8n+3的絕對(duì)坐標(biāo)是

（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：由于線段OM₀繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，得M₁M₀⊥OM₀，所以△OM₀M₁是等腰直角三角形，而點(diǎn)M₀的坐標(biāo)為（1，0），得到點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（1，1），根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得
OM₁=

2

OM₀=

2

，同理得到OM₂=

2

×

2

=2，OM₃=（

2

）³=2

2

，OM₄=（

2

）⁴=4，則可確定點(diǎn)M₅的坐標(biāo)，按此規(guī)律得到OM_8n+2=（

2

）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，由于從M₀開始，每8個(gè)點(diǎn)循環(huán)的落在坐標(biāo)軸和四個(gè)象限內(nèi)，則可得到點(diǎn)M_8n+2與點(diǎn)M2的位置一樣，都在y軸的正半軸上，于是得到點(diǎn)M_8n+3的絕對(duì)坐標(biāo)是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．

解答：解：∵點(diǎn)M₀的坐標(biāo)為（1，0），線段OM₀繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，得M₁M₀⊥OM₀，
∴△OM₀M₁是等腰直角三角形，
∴OM₁=

2

OM₀=

2

，點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為（1，1），
同理可得OM₂=

2

×

2

=2，OM₃=（

2

）³=2

2

，OM₄=（

2

）⁴=4，
∴點(diǎn)M₅的坐標(biāo)是（-4，-4）；
∴OM_8n+2=（

2

）⁸ⁿ⁺²=2⁴ⁿ⁺¹，
∵點(diǎn)M_8n+2在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)M_8n+3的絕對(duì)坐標(biāo)是（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．
故答案為（1，1）；（-4，-4）；（2⁴ⁿ⁺¹，2⁴ⁿ⁺¹）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：在直角坐標(biāo)系中利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)，再根據(jù)各象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征確定點(diǎn)的坐標(biāo)．也考查了規(guī)律型問(wèn)題的解決方法和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．