Question

已知拋物線y=ax²+bx+3在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點分別為A，B，P是其對稱軸x=1上的動點，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①2a+b=0，②x=3是ax²+bx+3=0的一個根，③△PAB周長的最小值是+3．其中正確的是（ ）

A．①②③
B．僅有①②
C．僅有①③
D．僅有②③

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)對稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系；
②根據(jù)拋物線的對稱性知拋物線與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是3；
③利用兩點間直線最短來求△PAB周長的最小值．
解答：解：①根據(jù)圖象知，對稱軸是直線x=-=1，則b=-2a，即2a+b=0．
故①正確；
②根據(jù)圖象知，點A的坐標(biāo)是（-1，0），對稱軸是x=1，則根據(jù)拋物線關(guān)于對稱軸對稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個交點的坐標(biāo)是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一個根，故②正確；
③如圖所示，點A關(guān)于x=1對稱的點是A′，即拋物線與x軸的另一個交點．
連接BA′與直線x=1的交點即為點P，
則△PAB周長的最小值是（BA′+AB）的長度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3．即△PAB周長的最小值是3+．
故③正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③．
故選A．
點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及兩點之間直線最短．解答該題時，充分利用了拋物線的對稱性．