Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D在x軸的正半軸上，∠ODB=30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線與x軸相交于A、F兩點(diǎn)（A在F的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△OMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長；
（3）點(diǎn)P為△ABO內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)m=PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時(shí)，線段AP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；
（2）過E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長；
過O作AE的垂線，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長可在Rt△AEK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長；
（3）由于點(diǎn)P到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△ABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長；求AP的長時(shí)，可作△OBE的外切圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點(diǎn)即為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H，易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長，相對于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據(jù)割線定理即可求得AP的長．
解答：解：（1）過E作EG⊥OD于G（1分）
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，；
∵E為BD中點(diǎn)，
∴
∴EG=1，
∴
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2分）
∵拋物線經(jīng)過B（0，2）、兩點(diǎn)，
∴，
可得；
∴拋物線的解析式為；（3分）

（2）∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側(cè)，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴，
∴在△AGE中，∠AGE=90°，（4分）
過點(diǎn)O作OK⊥AE于K，
可得△AOK∽△AEG
∴
∴
∴
∴
∵△OMN是等邊三角形，
∴∠NMO=60°
∴；
∴，或；（6分）
（寫出一個(gè)給1分）

（3）如圖；
以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；
易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；
連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；
∵OA=OB^′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′為等邊三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m_最小=AE=；
如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，
根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；
易求得Q（，1），則H（，0）；
∴AH=；
由割線定理得：AP•AE=OA•AH，
即：AP=OA•AH÷AE=×÷=．
故：m可以取到的最小值為
當(dāng)m取得最小值時(shí)，線段AP的長為．
（如遇不同解法，請老師根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)酌情給分）
點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大．