Question

（2003•岳陽）如圖，在正方形ABCD中，E是AB的中點，連接CE，過B作BF⊥CE交AC于F．求證：CF=2FA．

Answer 1

【答案】分析：延長BF交AD于G，根據正方形的性質得到∠ABG=∠BCE，可證△ABG≌△BCE，所以AG=BE，利用AG∥BC，可知FA：CF=AG：BC=1：2，所以CF=2FA．
解答：證明：延長BF交AD于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠ABG=∠BCE，
∴△ABG≌△BCE，
∴AG=BE，
∵BE=AB，
∴AG=AB=BC，
∴AG：BC=1：2，
∵AD∥BC，
∴FA：CF=AG：BC=1：2，
∴CF=2FA．
點評：主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定以及相似三角形中成比例線段的運用．根據正方形的性質找到相等的邊和角來證明三角形全等，并利用相似比求線段之間的數量關系是解題的關鍵．