Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=

3

，CD=1，BC=2

3

，動點P從B點出發(fā)，沿著BC方向以每秒1個單位的速度向右移動，過點P作射線BA的垂線PQ，垂足為Q．設(shè)P點移動的時間為t秒（0＜t＜2

3

），△PBQ與直角梯形ABCD重疊部分的面積為S．
（1）求∠B的度數(shù)；
（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在P點的運動過程中，設(shè)PQ與線段AD相交于點H，是否存在一個圓，使得該圓內(nèi)切于梯形ABPH？若存在，求出相應(yīng)的t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)已知得出BH，AH的長，即可得出tanB=

AH

BH

的值，即可得出角B的度數(shù)；
（2）分別根據(jù)①如圖1，當(dāng)0＜t≤

4 3

3

時，②當(dāng)

4 3

3

＜t＜2

3

時，分別求出S與t的關(guān)系時即可；
（3）利用切線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)表示出圓的半徑，進而得出即可．

解答：解：（1）過點A作AH⊥BC于H，
∵AD=

3

，BC=2

3

，CD=1，
∴BH=

3

，AH=CD=1，
∵在Rt△AHB中
tanB=

AH

BH

=

1

3

=

3

3

，
∴∠B=30°；

（2）①如圖1，當(dāng)0＜t≤

4 3

3

時，
∵BP=t，PQ=

t

2

，BQ=

3

2

t，
∴S=

1

2

×

3

2

t×

t

2

=

3

8

t²；
②當(dāng)

4 3

3

＜t＜2

3

時，
如圖2，設(shè)PQ與線段AD交于點H，
∵BP=t，∴BQ=

3

2

t，PQ=

t

2

又∵AB=

12+( 3 )2

=2，
∴AQ=

3

2

t-2，
∵AD∥BC，
∴∠QAH=∠B=30°，
∴Rt△QAH中，由勾股定理得出：
QH=

3

3

（

3

2

t-2），
∴S=S_△BQP-S_△AQH
=

3

8

t²-

1

2

×（

3

2

t-2）×

3

3

×（

3

2

t-2）
=

3

8

t²-

3

6

（

3

2

t-2）²
=t-

2 3

3

，
綜上所述：S=

3 8 t2(0＜t≤ 4 3 3 ) t- 2 3 3 ( 4 3 3 ＜t＜2 3 )

；

（3）存在；理由如下：
如圖3，設(shè)⊙O內(nèi)切于梯形ABPH，
M，N，L分別是AB，PH，BP邊的切點，則⊙O的半徑r=

1

2

CD=

1

2

，
且BM=BL，PL=PN，
又∵⊙O也是Rt△BPQ的內(nèi)切圓，
∴QM=QN，
∴四邊形QMON是正方形，
∴r=

BQ+PQ-BP

2

=

3 2 t+ t 2 -t

2

，
即

3

2

t+

t

2

-t=1，
解得：t=

3

+1，
∴當(dāng)t=

3

+1時，存在一個圓使該圓內(nèi)切于梯形ABPH．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出是解題關(guān)鍵．