Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點．Rt△OAB的斜邊OA在x軸的正半軸上，點A的坐標(biāo)為（2，0），點B在第一象限內(nèi)，且OB=

3

，∠OBA=90°．以邊OB所在直線折疊Rt△OAB，使點A落在點C處．
（1）求證：△OAC為等邊三角形；
（2）點D在x軸的正半軸上，且點D的坐標(biāo)為（4，0）．點P為線段OC上一動點（點P不與點O重合），連接PA、PD．設(shè)PC=x，△PAD的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)x=

1

2

時，過點A作AM⊥PD于點M，若k=

7AM

2PD

，求證：二次函數(shù)y=-2x²-（7k-3

3

）x+

3

k的圖象關(guān)于y軸對稱．

Answer 1

分析：（1）∵OA=2，OB=

3

，∠OBA=90，解直角△OAB可知∠OAB=60°，由折疊可知∠C=∠OAB=60°，故△OAC為等邊三角形；
（2）過點P作PE⊥OA于點E，以AD為底，PE為高，其中AD=2，在直角△OPE中，OP=2-x，∠POE=60°，解直角三角形可求PE，從而可表示面積；
（3）當(dāng)x=

1

2

時，可求線段PE、OE、ED及△PAD的面積，用勾股定理可求PD的長，用面積法可求AM長，從而可求k值，就能確定拋物線解析式了，也就能回答問題了．

解答：（1）證明：由題意可知OA=OC，
∵∠OBA=90°，OB=

3

，A的坐標(biāo)為（2，0）
∴sin∠OAB=

3

2

∴∠OAB=60°
∴△OAC為等邊三角形；

（2）解：由（1）可知OC=OA=2，∠COA=60°
∵PC=x，
∴OP=2-x
過點P作PE⊥OA于點E，在Rt△POE中，sin∠POE=

PE

OP

即

PE

2-x

=

3

2

∴PE=

3

2

（2-x）=-

3

2

x+

3

∴S_△PAD=

1

2

AD•PE=

1

2

（4-2）•PE=PE
∴y=-

3

2

x+

3

；

（3）證明：當(dāng)x=

1

2

時，即PC=

1

2

∴OP=

3

2

在Rt△POE中，PE=OP•sin∠POE=

3 3

4

OE=OP•cos∠POE=

3

4

∴DE=OD-OE=4-

3

4

=

13

4

∴在Rt△PDE中，PD=

PE2+DE2

=

( 3 3 4 )2+( 13 4 )2

=

7

2

又∵S_△PAD=-

3

2

x+

3

=-

3

2

•

1

2

+

3

=

3 3

4

∴S_△PAD=

1

2

PD•AM=

3 3

4

∴AM=

3 3

7

，
∴k=

7AM

2PD

=

3 3

7

∴y=-2x²-（7k-3

3

）x+

3

k=-2x²-（7×

3 3

7

-3

3

）x+

3

×

3 3

7

∴y=-2x²+

9

7

∵此二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=0，
∴此二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．

點評：本題考查等邊三角形、函數(shù)解析式、三角形面積、二次函數(shù)圖象的有關(guān)知識，屬于動點與動線相結(jié)合的運動變化題目，由淺入深地設(shè)置了三個問題，是一道綜合性題目，有一定難度．