Question

如圖，在半徑為6的⊙O中，弦AB的長為，
（1）弦AB所對的圓周角．
（2）若⊙O有一條長為的弦CD在圓周上運動，當點C與B重合時，求∠ABD的度數(shù)；當點C是的中點時，設(shè)CD與AB交于點P，求OP的長．

Answer 1

（1）解：
過O作ON⊥AB于N，連接OA、OB，
由垂徑定理得：AN=BN=AB=3，
∵在Rt△ONB中，cos∠OBN==，
∴∠OBN=30°，∠BON=90°-30°=60°，
∵OA=OB，ON⊥AB，
∴∠AOB=2∠BON=120°，
由圓周角定理得：①∠AEB=∠AOB=60°，
②∠AFB=180°-60°=120°，
答：弦AB所對的圓周角是60°或120°．

（2）解：分為兩種情況：
過O作OP⊥CD于P，
由垂徑定理得：BP=DP=3，
∵在Rt△BPO中，cos∠PBO==，
∴∠PBO=45°，
由（1）知：∠OBN=30°，
∴∠ABD=45°+30°=75°；
當D在D′時，∠ABD=45°-30°=15°；
即∠ABD的度數(shù)是15°或75°．
連接OC，OD，OP，
∵C是弧AB的中點，
∴OC⊥AB，
∵AB=6，半徑為6，
∴BE=AE=3，
由勾股定理得：OE=3，
∴CE=6-3=3=OC，
∴AB垂直平分OC，
∴OP=PC，
即△OPC是等腰三角形，且OP=PC；
∵CD=6，OC=OD=6，
∴OC²+OD²=CD²，
△COD為等腰直角三角形，
∴∠PCO=45°，
∵△PCO為等腰三角形，
∴∠POC=∠PCO=45°，
∴∠OPC=90°，
即OP⊥CD，
∴在等腰直角△OCD中，DP=CP，
∴CP=CD=3，
∴OP=CP=3
答：∠ABD的度數(shù)是15°或75°，OP的長是3．
分析：（1）過O作ON⊥AB于N，連接OA、OB，由垂徑定理求出AN=BN=3，根據(jù)cos∠OBN=，求出∠OBN、∠BON，求出∠AOB，根據(jù)圓周角定理求出∠AEB和∠AFB即可；
（2）過O作OP⊥CD于P，由垂徑定理求出BP=DP，根據(jù)cos∠PBO求出∠PBO=45°，由（1）知：∠OBN=30°，代入求出即可；連接OC，OD，OP，求出BE=AE=3，由勾股定理求出OE=3，得出AB垂直平分OC，推出△OPC是等腰三角形，求出△COD為等腰直角三角形，推出∠PCO=45°，求出∠OPC=90°即可．
點評：本題綜合考查了銳角三角函數(shù)定義，勾股定理及逆定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用這些性質(zhì)進行推理和計算的能力，注意：每一步都要進行分類討論�。�