Question

【題目】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系

（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）不成立．結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D，證明見解析；（2）；（3）360°.

【解析】

（1）延長BP交CD于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可說明不成立，應(yīng)為∠BPD=∠B+∠D；

（2）作射線QP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得；

（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和以及（2）的結(jié)論求解即可．

解：（1）不成立．結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D

延長BP交CD于點(diǎn)E，

∵AB∥CD

∴∠B＝∠BED

又∵∠BPD＝∠BED+∠D，

∴∠BPD＝∠B+∠D．

（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．

作射線QP，

∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，

∴∠BPE=∠B+∠BQE，∠DPE=∠D+∠DQP，

∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D；

（3）在四邊形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，

又∵∠AGB＝∠CGF，

∴∠AGB +∠C+∠D+∠F=360°，

由（2）知，∠AGB=∠B+∠A+∠E，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．