Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A是x軸正半軸上的動點，點B是y軸正半軸上的動點，作射線AB，∠OAB的平分線與∠OBA的外角的平分線交于點C．
（1）當OA=OB時，∠C的度數(shù)是______．
（2）當點A、B分別在x軸和y軸正半軸上移動時，∠C的大小是否變化？請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠DBO=180°-45°=135°，
∵點C是∠OAB的平分線與∠OBA的外角的平分線的交點，
∴∠CAB=∠OAB=22.5°，∠CBO=∠DBO=67.5°，
∴∠CAB+∠CBO+∠OAB=22.5°+67.5°+45°=135°，
∴∠C=180°-（∠CAB+∠CBO+∠OAB）=180°-135°=45°．
故答案為：45°；

（2）∠C的大小不變．
理由如下：
設∠DBC=x，∠BAC=y，
∵BC平分∠DBO，AC平分∠BAO．
∴∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．
∵∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角，
∴，
∴∠C=45°．
分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠OAB=∠OBA=45°，再由平角的定義得出∠DBO的度數(shù)，由角平分線的性質(zhì)得出∠CAB與∠CBO的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）設∠DBC=x，∠BAC=y，再根據(jù)BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．
再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC是△ABC的外角可得出關于x、y，∠C的方程組，求出∠C的值即可．
點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，即三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和．