Question

如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長度，點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，連接PQ，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？

（2）設(shè)△AQP的面積為S，

①求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

②若我們規(guī)定：點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則新坐標(biāo)（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)．當(dāng)S取最大值時(shí)，求“向量PQ”的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)t=秒時(shí)，PQ∥BO（2）①S=（0＜t＜），5②（，﹣3）

【解析】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。

∴。

如圖①，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，AQ=2t，BP=3t，則AP=10﹣3t。

∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。

∴當(dāng)t=秒時(shí)，PQ∥BO。

（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．

①如圖②所示，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，

則PD∥BO。

∴△APD∽△ABO。

∴，即，解得PD=6﹣t。

∴。

∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（0＜t＜）。

∴當(dāng)t=秒時(shí)，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。

②如圖②所示，當(dāng)S取最大值時(shí)，t=，

∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。

又PD∥BO，∴此時(shí)PD為△OAB的中位線，則OD=OA=4�！郟（4，3）。

又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。

依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．

∴當(dāng)S取最大值時(shí)，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，﹣3）。

（1）如圖①所示，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值。

（2）①求S關(guān)系式的要點(diǎn)是求得△AQP的高，如圖②所示，過點(diǎn)P作過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，構(gòu)造平行線PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，從而S可求出．S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值。

②求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)：當(dāng)S取最大值時(shí)，可推出此時(shí)PD為△OAB的中位線，從而可求出點(diǎn)P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x₂﹣x₁，y₂﹣y₁），即可求解。