Question

【題目】如圖，PB與⊙O相切于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)A，連結(jié)PA，AO，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)E，與PB的延長線交于點(diǎn)D．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）若tan∠BAD=，且OC=4，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OB，由SSS證明△PAO≌△PBO，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；

（2）連接BE，證明△PAC∽△AOC，證出OC是△ABE的中位線，由三角形中位線定理得出BE=2OC，由△DBE∽△DPO可求出．

試題解析：（1）連結(jié)OB，則OA=OB．如圖1，

∵OP⊥AB，

∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分線，∴PA=PB．

在△PAO和△PBO中，

∵，

∴△PAO≌△PBO（SSS），

∴∠PBO=∠PAO．∵PB為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切線；

（2）連結(jié)BE．如圖2，

∵在Rt△AOC中，tan∠BAD=tan∠CAO=，且OC=4，

∴AC=6，則BC=6．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，

∴△PAC∽△AOC，∴AC2=OCPC，解得PC=9，

∴OP=PC+OC=13．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB=，

∵AC=BC，OA=OE，即OC為△ABE的中位線．

∴OC=BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8．

∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，

∴，即，解得BD=．