Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最��？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；
（4）設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點D是OA的中點，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分線，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）過點B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點P即為所求．
易知點F的坐標為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=BF=1，
∴點P的坐標為（3，3）．
∵拋物線經過原點，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx．
又∵拋物線經過點P（3，3）和點D（2，0），
∴有
解得
∴拋物線的解析式為y=x²-2x；

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于∠AOC的平分線的對稱點即為C點．
連接EC，它與∠AOC的平分線的交點即為所求的P點（因為PE+PD=EC，而兩點之間線段最短），此時△PED的周長最小．
∵拋物線y=x²-2x的頂點E的坐標（1，-1），C點的坐標（0，2），
設CE所在直線的解析式為y=kx+b，
則有，
解得．
∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2．
點P滿足，
解得，
故點P的坐標為．
△PED的周長即是CE+DE=+；

（4）假設存在符合條件的P點．矩形的對稱中心為對角線的交點，故N（2，1）．
①當P點在N點上方時，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，顯然F點符合P點的要求，故P（2，2）；
②當P點在N點下方時，設P（a，a），則：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0，解得a=或a=2，故P（，），
綜上可知：存在點P，使∠CPN=90度．其坐標是或（2，2）．
分析：本題綜合考查了三角形全等、一次函數(shù)、二次函數(shù)，及線段最短和探索性的問題．
（1）通過△POC≌△POD而證得PC=PD．
（2）首先要確定P點的位置，再求出P、F兩點坐標，利用待定系數(shù)法求的拋物線解析式；
（3）此問首先利用對稱性確定出P點位置是EC與∠AOC的平分線的交點，再利用拋物線與直線CE的解析式求出交點P的坐標．進而求的△PED的周長；
（4）要使∠CPN=90°，則P點是以CN的中點為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點，由此就易于寫出P點的坐標．
點評：函數(shù)與四邊形或三角形的綜合考查，是近幾年中考的一個熱點問題．對于這類問題，通常需要學生熟悉掌握多邊形與函數(shù)的概念與性質及兩者之間的聯(lián)系．