Question

已知點P在線段4B上，點O在線段AB的延長線上，以點O為圓心，OP為半徑作圓，點C是圓O上一點． 

(1)如果AP=2PB，PB=BO．求證△CAO∽△BCO；

(2)如果AP=m(m是常數(shù)，且m>1)，BP=1，OP是OA、OB的比例中項，當點C在圓周上運動時，求AC：BC的值(結果用含m的式子表示)；

(3)在(2)的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關系，并寫出相應的m的取值范圍．

Answer 1

(1)證明：∵AP=2PB，PB=BO，∴AP=PO．

∴AO=2PO，

∵∴

∵∠COA=∠BOC，∴△CAO∽△BCO 

(2)解：設OP=x，則，．

∵OP是OA和OB的比例中項，

∴

解得．即  

∴．

∵OP是OA和OB的比例中項．即

∵OP=OC，∴

設圓O與線段AB的延長線相交于點Q，當點C、點P、點Q不重合時，

∵∠AOC=∠COB，∴△CAO∽△BCO．∴

∴當點C與點P或點Q重合時，可得

∴當點C在圓O上運動時，

 (3)解：由(2)得，AC>BC，且，   

，圓B和圓C的圓心距d=BC．

顯然，，∴圓B和圓C的位置關系只能是相交、內切或內含．

當圓B與圓C相交時，，得．

∵,∴

當圓B與圓C內切時，．得m=2．

當圓口與圓C內含時，．得m>2．