Question

【題目】如圖，二次函數(shù)圖象經(jīng)過A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）三點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求該拋物線的對稱軸；

（3）該拋物線的對稱軸上有一點D，在該拋物線上是否存在一點E，使得以D、E、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）x=；（3）存在，點E的坐標為（，﹣）、（，）或（﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)點A、B、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出拋物線的對稱軸；（3）假設存在，分線段BC為對角線以及BC為邊兩種情況考慮，根據(jù)點B、C、D的坐標結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可得出點E的坐標，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出點E的坐標，此題得解．

試題解析：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將A（﹣3，0）、B（4，0）、C（0，﹣4）代入y=ax2+bx+c（a≠0）中得：，解得：，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4．（2）∵拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4，∴該拋物線的對稱軸為x=﹣=．（3）假設存在，∵點D在拋物線的對稱軸上，∴設點D的坐標為（，m）．以D、E、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況（如圖所示）：①當線段BC為對角線時，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），∴點E的坐標為（4﹣， ﹣4﹣m），既（，﹣4﹣m），∵點E在拋物線y=x2﹣x﹣4上，∴﹣4﹣m=×﹣×﹣4=﹣，此時點E的坐標為（，﹣）；②當線段BC為邊時，∵B（4，0）、C（0，﹣4）、D（，m），∴點E的坐標為（+4，m+4）或（﹣4，m+4），既（，m+4）或（﹣，m+4）．∵點E在拋物線y=x2﹣x﹣4上，∴m+4=×﹣×﹣4=或m+4=×﹣×（﹣）﹣4=，此時點E的坐標為（，）或（﹣，）．綜上可知：在該拋物線上存在一點E，使得以D、E、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，點E的坐標為（，﹣）、（，）或（﹣，）．