Question

已知兩等圓⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過點B作任意直線分別與⊙O₁交于點C，與⊙O₂交于點D．
（1）試判別△ACD的形狀，并證明你的結(jié)論成立；
（2）兩圓再滿足什么條件時，△ACD為等邊三角形？（要求：畫出圖形，并證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等圓的定義和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到∠C=∠D，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可；
（2）根據(jù)等圓定義得到等邊三角形，推出∠AO₁O₂=60°，得到∠C=60°，根據(jù)等邊三角形的判定即可推出答案．
解答：證明：△ACD為等腰三角形．
（1）∵⊙O₁，⊙O₂為等圓，AB=AB，
∴=
∴∠C=∠D，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形．

（2）解：當⊙O₁過O₂點時（或⊙O₂過O₁點），△ACD為等邊三角形．
證明：∵連接O₁A、O₁O₂、O₂A、O₂B，
∵⊙O₁、⊙O₂是等圓，
∴O₁A=O₁O₂=O₂A，
∴△AO1O₂是等邊三角形，
∴∠AO₁O₂=60°，
又∵AB=2AO₂，
∵∠C=∠AO₁O₂=60°，
又∵AC=AD，
∴△ACD為等邊三角形．
點評：本題主要考查對相交兩圓的性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．