Question

邊長為4的正方形ABCD，將此正方形置于平面直角坐標系中，使AB邊落在x軸的正半軸上，且A點的坐標是（1，0）．
①直線y=

4

3

x-

8

3

經過點C，且與x軸交于點E，求四邊形AECD的面積；
②若直線l經過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分求直線l的解析式；
③若直線l₁經過點F(-

3

2

，0)且與直線y=3x平行，將②中直線l沿著y軸向上平移1個單位交x軸于點M，交直線l₁于點N，求△NMF的面積．

Answer 1

分析：（1）四邊形AECD是直角梯形，根據梯形的面積公式，只要求出AE的長，即可；
（2）若直線l經過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，則直線一定經過正方形的中心（3，2），根據待定系數法即可求得解析式；
（3）直線l₁與直線y=3x平行，則直線l₁的一次項系數是3，根據待定系數法，即可求得l₁的解析式；
將②中直線l沿著y軸向上平移1個單位，則所得函數解析式可以求得．即可求得M，N，F的坐標，則三角形的面積即可求得．

解答：解：（1）y=

4

3

x-

8

3

當y=0時，x=2
∴E（2，0）
∴AE=1
∵CD=4，AD=4
∴S_{四邊形AECD}=10

（2）連接AC、BD相交于點O，則O（3，2）
∵直線L將正方形ABCD面積平分
∴L過點O（3，2）
設直線L：y=kx+b
∵L過點E（2，0）O（3，2）
∴

0=2k+b 2=3k+b

∴

k=2 b=-4

∴y=2x-4

（3）∵直線L₁與y=3x平行
∴設直線L₁：y=3x+b
∵L₁過點F（-

3

2

，0）
∴0=3×（-

3

2

）+b，
則b=

9

2

．
∴L₁：y=3x+

9

2

直線L向上平移1個單位得直線y=2x-3
y=0時，x=

3

2

∴M（

3

2

，0）
又

y=2x-3 y=3x+ 9 2

解得

x=- 15 2 y=-18

∴N（-

15

2

，-18）
∵MF=

3

2

+

3

2

=3，
∴S_△MNF=

1

2

×3×18=27．

點評：本題主要考查了兩直線平行的條件，以及待定系數法求函數解析式．