Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A（-4，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC的周長最��？若存在，請直接寫出△PBC周長的最小值與點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A、B的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可，把函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點C的坐標，然后求出OA、OB、OC的長，再求出AB，利用勾股定理列式求出BC²、AC²，然后根據(jù)勾股定理逆定理解答；
（3）根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，AC與對稱軸的交點即為所求的點P，利用勾股定理列式求出AC的長，則周長最小值=AC+BC，再求出直線AC的解析式，然后把頂點的橫坐標代入解析式計算求出y值，即可得到點P的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2與x軸交于A（-4，0）、B（1，0）兩點，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+2，
∵y=-x²-x+2=-（x²+3x+-）+2=-（x+）²+，
∴頂點D的坐標為（-，）；

（2）△ABC是直角三角形．
證明如下：當x=0時y=2，∴C（0，2），OC=2，
∵A（-4，0）、B（1，0），
∴OA=4，OB=1，AB=5，
∴AB²=25，
在Rt△AOC與Rt△BOC中，
AC²=OA²+OC²=20，BC²=OC²+OB²=5，
∴AC²+BC²=AB²；
∴△ABC是直角三角形；

（3）存在．
∵A、B關于對稱軸直線x=-對稱，
∴AC與對稱軸的交點即為點P，
根據(jù)勾股定理，AC==2，
∵BC²=OC²+OB²=5，
∴BC=，
∴最小周長=PB+PC+BC=AP+PC+BC=AC+BC=2+=3，
設直線AC的解析式為y=kx+m，
則，
解得，
所以，直線AC的解析式為y=x+2，
x=-時，y=×（-）+2=，
所以，點P的坐標為（，）．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，頂點坐標的求解，勾股定理逆定理的應用，利用軸對稱確定最短路線問題，（3）根據(jù)軸對稱的性質確定出點P的位置是解題的關鍵．