Question

如圖，直角坐標系中，以點A（1，0）為圓心畫圓，點M（4，4）在⊙A上，直線y=－x+b過點M，分別交x軸、y軸于B、C兩點．

1.求⊙A的半徑和b的值；

2.判斷直線BC與⊙A的位置關系，并說明理由；

3.若點P在⊙A上，點Q是y軸上C點下方的一點，當△PQM為等腰直角三角形時，請直接寫出滿足條件的點Q（0，k）（k為整數）坐標．

 

Answer 1

 

1.連結MA，過M作MD⊥x軸，垂足為D

∵M(4，4)，A(1， 0）∴AD=3，MD=4，∴MA=5，即⊙A的半徑為5；………… 1分

又直線y=－x+b過點M(4，4)，代入可得b=7… 2分

2.∵直線y=－x+7分別交x軸、y軸于B、C兩點

可解得C(0，7)，B(，0)，∴AB=，DB=…4分

在Rt△MBD中，MB===………… 5分

由，，得，………… 6分

又∠ABM=∠MBD

∴△ABM∽△MBD，∠AMB=∠MDB=90°……… 7分

∴AM⊥直線BC，∴直線BC與⊙A相切  ………… 8分

3.①當∠PQM=90°時，Q(0，0)；…………10分

②當∠PMQ=90°，Q (0，2)；………… 12分

③當∠QPM=90°時，Q(0，)或(0，－8) …… 14分

其余兩種不合題意，舍去。

解析:（1）連結MA，過M作MD⊥x軸，垂足為D由圖可得，AM²=AD²+MD²，且AD=3，MD=4，代入可得；

（2）只要證明∠AMB=90°可得出直線BC與⊙A相切

（3）題目分為3種情況：①當∠PQM=90°時，②當∠PMQ=90°，③當∠QPM=90°時，