Question

如圖，已知，已知點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，射線AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，交邊BC于點(diǎn)E．

(1)ID與BD有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑r＝3，ID＝2，AD＝x，DE＝y(tǒng)，當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)y與自變量x的關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)ID＝BD．理由如下： 　　連接BI．∵I是△ABC的內(nèi)心．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． 　　又∵∠5＝∠4，∴∠5＝∠3．∴∠5＋∠2＝∠3＋∠1，即∠DBI＝∠DIB．∴DB＝DI． 　　(2)在△ABD和△BDE中， 　　∵∠3＝∠5，∠ADB＝∠BDE，∴△ABD∽△BDE． 　　∴＝，又BD＝ID．∴ID2＝AD·DE． 　　∵ID＝2，AD＝x，DE＝y．∴xy＝4，即y＝． 　　∵∠ABD＞∠5＝∠3，∴AD＞BD．又AD≤2R，∴BD＜AD≤2R．即2＜x≤6． 　　∴自變量x的取值范圍是2＜x≤6． 　　[剖析](1)主要考查三角形內(nèi)心的概念，由于三角形的內(nèi)心是它的三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，故連接BI后，會(huì)得到∠1＝∠2及∠3＝∠4．結(jié)合圓周角的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，得到∠DBI＝∠DIB，從而得到DI＝DB；(2)則尋找三角形相似，運(yùn)用成比例線段建立x、y之間的關(guān)系．由于BD＝DI，又BD、DE是△BDE的邊，BD、AD是△ABD的邊，故不難想到要判斷這兩個(gè)三角形相似．