Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+x﹣2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C．

（1）求點A，點B和點C的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標；
（3）若點M是直線AC下方拋物線上一動點，求四邊形ABCM面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 y=0，得 x2+x﹣2=0 解得 x1=﹣2， x2=1，

∴A（﹣2，0），B（1，0），

由 x=0，得 y=﹣2，

∴C（0，﹣2）

（2）

解：連接AC與對稱軸的交點即為點P．

設直線 AC 為 y=kx+b，則﹣2k+b=0，b=﹣2：得 k=﹣1，y=﹣x﹣2．

對稱軸為 x=﹣ ，當 x=﹣ 時，y=_（﹣ ）﹣2=﹣ ，

∴P（﹣ ，﹣ ）

（3）

解：過點M作MN丄x軸與點N，

設點M（x，x2+x﹣2），則AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，

S 四邊形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC= （x+2）（﹣x2﹣x+2）+ （2﹣x2﹣x+2）（﹣x）+ ×1×2

=﹣x2﹣2x+3

=﹣（x+1）2+4．

∵﹣1＜0，

∴當x=_l時，S四邊形ABCM的最大值為4

【解析】（1）利用待定系數法即可解決問題．（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P．求出直線AC的解析式即可解決問題．（3）過點M作MN丄x軸與點N，設點M（x，x2+x﹣2），則AN=x+2，0N=﹣x，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x﹣2）=﹣x2﹣x+2，根據S 四邊形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．