Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．
（1）弦AB=______（結果保留根號）；
（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數．

Answer 1

解：（1）如圖，過O作OE⊥AB于E，
∴E是AB的中點，
 在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴OE=1，
∴BE=，
∴AB=2BE=2；

（2）解法一：∵∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D．
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D． …
又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，
∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，…
∴∠BOD=2∠A=100°．…
解法二：如圖，連接OA．
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D． …
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，…
∴∠BOD=2∠DAB=100°（同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半）．  …
分析：（1）如圖，過O作OE⊥AB于E，根據垂徑定理知道E是AB的中點，然后在Rt△OEB中利用已知條件即可求解；
（2）首先根據三角形的外角和內角的故選得到可以得到∠BOD=∠B+∠A+∠D，接著利用圓周角和圓心角的關系和已知條件即可求出∠BOD的度數．
點評：此題綜合考查了垂徑定理、解直角三角形的應用及三角形的外角和內角的關系，同時也利用勾股定理進行計算．