Question

如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠A=15°，BC=12，以A為圓心作圓和BC相切，則⊙A的半徑為

6

3

+6

．

Answer 1

分析：過(guò)A作BC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為D，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到切線的距離等于圓的半徑，故要求圓A的半徑即要求出AD的長(zhǎng)，由∠ACD為三角形ABC的外角，由∠CAB和∠B的度數(shù)，利用外角的性質(zhì)求出∠ACD為45°，再由直角三角形的兩銳角互余，根據(jù)∠B的度數(shù)求出∠DAB的度數(shù)，利用∠DAB-∠CAB求出∠DAC為45°，進(jìn)而確定出三角形ADC為等腰直角三角形，可設(shè)出AD=CD=x，利用DC+BC=DB表示出DB，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，得出AD的長(zhǎng)，即為以A為圓心作圓和BC相切時(shí)圓A的半徑．

解答：解：過(guò)A作BC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為D，

∵∠ACD為△ABC的外角，∠B=30°，∠CAB=15°，
∴∠ACD=∠B+∠CAB=30°+15°=45°，
又∠D=90°，∠B=30°，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=60°-15°=45°，
∴AD=CD，
可設(shè)AD=CD=x，又BC=12，
則有BD=CD+BC=x+12，
在Rt△ABD中，tanB=tan30°=

AD

BD

，即

x

x+12

=

3

3

，
解得：x=6

3

+6，
∴AD=6

3

+6，
則⊙A的半徑為6

3

+6．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及特殊角的三角函數(shù)值，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，即d=r，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．