Question

如圖，在矩形ABCD中，M是BC上一動點，DE⊥AM，E為垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的長是方程x²-（k-2）x+2k=0的兩個根，
（1）求k的值；
（2）當點M離開點B多少距離時，△AED的面積是△DEM面積的3倍？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據根與系數(shù)的關系，列出方程組解答；
（2）根據（1）中k的值解方程，求出AD和BC的長，然后根據相似三角形的性質解答．
解答：解：（1）根據題意列方程組得：解得，
即3k²-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分別代入方程x²-（k-2）x+2k=0中，
當k=12時原方程可化為x²-10x+24=0，
解得x=4或x=6，
∵3AB=2BC，∴AB=4，BC=6．
當k=時原方程可化為x²+x+=0，解得x=-或x=-1（不合題意舍去）．
故AB=4，BC=6，
∵△AED的面積是△DEM的高相同，
∴△AED的面積是△DEM面積的3倍則AE=3ME，設
ME=x，則AE=3x，設BM=y．
在Rt△AED與Rt△MBA中，∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故兩三角形相似，
由勾股定理得AB²+BM²=16x²----①，解得BM=，
即=，即=----②，
整理得x⁴-4x²+4=0，解得x²=2，x=．
于是BM===4．
當點M離開點B的距離為4時，△AED的面積是△DEM面積的3倍．
點評：此題將動點問題與一元二次方程和矩形的性質相結合，通過相似三角形和同高不等底的三角形的性質，將面積關系轉化為線段的性質解答．