Question

已知直線y=kx-4（k＞0）與x軸和y軸分別交于A、C兩點(diǎn)；開口向上的拋物線y=ax²+bx+c過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）如果A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離AO、BO滿足AO=3BO，點(diǎn)B到直線AC的距離等于

16

5

，求這條直線和拋物線的解析式．
（2）問是否存在這樣的拋物線，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圓截y軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構(gòu)建直角三角形求解，過B作BE⊥AC于E，交y軸于D，可根據(jù)直線的解析式用k表示出OA、OB的長，即可得出AB的長，已知了BE的長度，可用勾股定理求出AE的長；
AE長的另一種表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的長表示出AE，然后聯(lián)立兩個(gè)AE的表達(dá)式即可求出k的值．進(jìn)而可求出直線的解析式和拋物線的解析式．
（2）已知了C點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是確定拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．可用韋達(dá)定理來求解．已知了三角形ABC的外接圓（設(shè)圓心為P）截y軸的弦長為5，那么OD=1，根據(jù)相交弦定理可求出OA•OB的值，即可得出韋達(dá)定理中兩根積的值，即可求出二次項(xiàng)系數(shù)的值．連AP、BP，過P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．
根據(jù)垂徑定理和圓周角定理不難得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，據(jù)此可求出AE和AB的長，即可得出A、B橫坐標(biāo)差的絕對值，由此可求出一次項(xiàng)系數(shù)的值，即可確定拋物線的解析式．

解答：解：（1）易知：A（

4

k

，0），
因此OA=

4

k

，OB=

4

3k

，B（-

4

3k

，0），
∴AB=

16

3k

，
過B作BE⊥AC于E，交y軸于D，在直角三角形ABE中，
AE=

AB2-BE2

=

( 16 3k )2-( 16 5 )2

．
根據(jù)直線AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k，
因此AE=

BE

k

=

16

5k

，即：

( 16 3k )2-( 16 5 )2

=

16

5k

，
解得k=

4

3

（負(fù)值舍去）．
∴直線的解析式為y=

4

3

x-4．
∴A（3，0），B（-1，0）
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），
由于拋物線過C（0，-4），
則有：a（0-3）（0+1）=-4，a=

4

3

，
∴拋物線的解析式為y=

4

3

x²-

8

3

x-4．

（2）假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax²+bx-4．
設(shè)△ABC的外接圓圓心為P，連AP、BP，過P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．
∵圓P截y軸所得弦長為5，且過點(diǎn)A、B及C（0，-4）．
∴圓P過點(diǎn)D（0，1）
∴P點(diǎn)在x軸下方，
∴CF=DF=

5

2

，PE=OF=4-

5

2

=

3

2

．
∵∠APE=

1

2

∠APB=∠ACB，
∴tan∠APE=

AE

PE

=tan∠ACB=2，
∴AE=2PE=3，
∴AB=2AE=6，
∵OA•OB=OC•OD，即-x₁x₂=4．
∴

4

a

=4，a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+bx-4．
∵AB=6，
∴x₁-x₂=6．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²+16=36．
∴b=±2

5

．
∴存在這樣的拋物線y=x²±2

5

x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、三角形的外接圓等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．