Question

3．如圖，已知點O （0，0），A （-5，0），B （2，1），拋物線l：y=-（x-h）²+1（h為常數(shù)）與y軸的交點為C．
（1）拋物線l經(jīng)過點B，求它的解析式，并寫出此時拋物線l的對稱軸及頂點坐標；
（2）設(shè)點C的縱坐標為y_c，求y_c的最大值，此時拋物線l上有兩點（x₁，y₁），（x₂，y₂），其中x₁＞x₂≥0，比較y₁與y₂的大小；
（3）當(dāng)線段OA被l只分為兩部分，且這兩部分的比是1：4時，求h的值．

Answer 1

分析 （1）把x=2，y=1代入二次函數(shù)的解析式計算，得到解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線l的對稱軸及頂點坐標；
（2）根據(jù)坐標的特征求出y_c，根據(jù)平方的非負性求出y_c的最大值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較y₁與y₂的大小；
（3）根據(jù)把線段OA分1：4兩部分的點是（-1，0）或（-4，0），代入計算即可．

解答 解：（1）把x=2，y=1代入y=-（x-h）²+1，得：h=2，
∴解析式為：y=-（x-2）²+1，
∴對稱軸為：x=2，頂點坐標為：（2，1）；
（2）點C的橫坐標為0，則y_c=-h²+1，
∴當(dāng)h=0時，y_c有最大值為1，
此時，拋物線為：y=-x²+1，對稱軸為y軸，
當(dāng)x≥0時，y隨著x的增大而減小，
∴x₁＞x₂≥0時，y₁＜y₂；
（3）把線段OA分1：4兩部分的點是（-1，0）或（-4，0），
把x=-1，y=0代入y=-（x-h）²+1，得：h=0或h=-2．
但h=-2時，線段OA被分為三部分，不合題意，舍去，
同樣，把x=-4，y=0代入y=-（x-h）²+1，
得：h=-5或h=-3（舍去），
∴h的值為0或-5．

點評 本題考查的是二次函數(shù)的最值的確定、待定系數(shù)法的應(yīng)用，靈活運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式、熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．