Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，AE=2，ED=4．
（1）求AB的長；
（2）延長DB到F，使BF=BO，連接FA，請判斷直線FA與⊙O的位置關系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證得△BAE∽△DAB，得到AB：AD=AE：AB，即AB²=AD•AE，而AE=2，ED=4，即可計算出AB的長；
（2）連OA，根據圓周角定理的推論得到∠BAD=90°，再利用勾股定理計算出BD，得到∠D=30°，易得△OAB為等邊三角形，則有AB=BF=BO，根據圓周角定理的推論得到△OAF為直角三角形，即∠OAF=90°，然后根據切線的判定定理得到直線AF是⊙O的切線．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠C與∠D是同弧所對的圓周角，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
而∠BAE=∠DAB，
∴△BAE∽△DAB，
∴AB：AD=AE：AB，即AB²=AD•AE，
又∵AE=2，ED=4．
∴AD=6，
∴AB²=2×6=12，
∴AB=2

3

；

（2）直線FA與⊙O相切．理由如下：
連OA，如圖，
∵BD為直徑，
∴∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=

(2 3 ) 2+62

=4

3

，
∴∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AB=BO，
又∵BF=BO，
∴AB=BF=BO，
∴∠ABO=∠AOB=60°，∠F=∠FAB，
∴∠F=∠FAB=

1

2

∠ABO=30°，
∴∠OAF=∠FAB+∠BAO=90°，
∴直線AF是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理及其推論以及三角形相似的判定與性質．