Question

直線l的解析式為，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是x軸上一點，以P為圓心的圓與直線l相切于B點．
（1）求點P的坐標及⊙P的半徑R；
（2）若⊙P以每秒個單位沿x軸向左運動，同時⊙P的半徑以每秒個單位變小，設⊙P的運動時間為t秒，且⊙P始終與直線l有交點，試求t的取值范圍；
（3）在（2）中，設⊙P被直線l截得的弦長為a，問是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；
（4）在（2）中，設⊙P與直線l的一個交點為Q，使得△APQ與△ABO相似，請直接寫出此時t的值．

Answer 1

解：（1）如圖，由于直線ly=+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∵y=x+8，
∴y=0，x=-．A（-，0），
∴x=0，y=8．B（0，8），
又OB⊥AP，AB切⊙P于B點，可以得到△ABO∽△BPO，
∴=，
∴=，
∴OP=6，
P為圓心的圓與直線L相切于B點．
R=PB==10；

（2）∵R是點P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點．
P[（6-），0]，R=10-，L：3x-4y+32=0，
點P到直線L的距離H=|10-|，
10-≥|10-|，
10-≥10-≥-（10-），
t≤0，
點P到直線L的距離：H=|10-2t|，
10-≥10-2t≥-（10-），
7.5≥t≥0；

（3）∵（ ）²=R²-H²=（10-）²-（10-2t）²=（-）×（t-）²+50，
t=，（ ）²_最大=50，a_最大=10 ；

（4）∵在（2）中，設⊙P與直線l的一個交點為Q，使得△APQ與△ABO相似，
即△APQ與△ABO相似，∴PQ垂直AB，
∴⊙P與直線L相切，
t=0，或t=7.5．
分析：（1）直線l的解析式y(tǒng)=+8，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，求出A（-，0），B（0，8），再得出△ABO∽△BPO，進而求出OP的長，再利用勾股定理求出即可．
（2）由R≥點P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點，求得t的取值范圍．
（3）先假設存在這樣的t，然后由二次函數最值求法求出t值．
（4）利用在（2）中，設⊙P與直線l的一個交點為Q，使得△APQ與△ABO相似，即PQ⊥AB時就符合要求求出即可．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和二次函數最值求法等知識，根據已知借助數形結合得出相似三角形是解決問題的關鍵．