Question

【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為的正方形對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（與、不重合），點(diǎn)在線段上，且．

求證：①；②；

設(shè)，的面積為．

①求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；

②當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①．．②當(dāng)時(shí)，．

【解析】

（1）可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解．過(guò)點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過(guò)證三角形GPD和EFP全等來(lái)求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．

（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長(zhǎng)，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，F(xiàn)E的長(zhǎng)，那么就知道了底邊BE的長(zhǎng)，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的長(zhǎng)，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的取值．

證明：①過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、．如圖所示．

∵四邊形是正方形，

∴四邊形和四邊形都是矩形，

和都是等腰直角三角形．

∴，，度．

又∵，

∴，

∴，

∴．

∴．

②∴．

∴度．

∴度．

∴．

解：①過(guò)作，可得為等腰直角三角形，

四邊形為矩形，可得，

∵，∴，

∴，．

∴．

即．．

②

∵，

∴當(dāng)時(shí)，．