Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+3頂點(diǎn)為P，且分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)P的右側(cè)，tan∠ABO=．

（1）求拋物線的對稱軸和點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？如果存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸是直線x=-2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）；（2）存在，D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)正切函數(shù)，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)勾股定理，可得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

試題解析：（1）當(dāng)x=0時，y=3，即B（0，3）．tan∠ABO===，AO=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3）．將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得1﹣b+3=0，解得b=4．拋物線的解析式為y=x2+4x+3，y=（x+2）2﹣1，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1）；（2）在拋物線的對稱軸上存在這樣的點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣2，m），因?yàn)锳（﹣1，0），B（0，3）．由勾股定理，得AD2=1+m2，AB2=12+32=10，BD2=4+（m﹣3）2．①當(dāng)AD2+AB2=BD2時，即1+m2+10=4+（m﹣3）2，解得m=，即D1（﹣2，）；②當(dāng)AD2+BD2=AB2時，即1+m2+4+（m﹣3）2=10，解得m=2或m=1，即D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；③當(dāng)AB2+BD2=AD2時，即10+4+（m﹣3）2=1+m2，解得m=，即D4（﹣2，），綜上所述：在拋物線的對稱軸上存在這樣的點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形．其坐標(biāo)為D1（﹣2，），D2（﹣2，2），D3（﹣2，1）；D4（﹣2，）．