關于二次函數(shù)y=2x2-mx+m-2,以下結論:①拋物線交x軸有交點;②不論m取何值,拋物線總經過點(1,0);③若m>6,拋物線交x軸于A、B兩點,則AB>1;④拋物線的頂點在y=-2(x-1)2圖象上.其中正確的序號是( )
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
【答案】
分析:由二次函數(shù)的解析式,找出二次項系數(shù)a,一次項系數(shù)b及常數(shù)項c,將a,b及c的值代入b
2-4ac,利用完全平方公式化簡后,根據完全平方式恒大于等于0,可得出b
2-4ac大于等于0,進而確定出該拋物線與x軸有交點,故①正確;將x=1代入拋物線解析式,求出y=0,可得出此拋物線恒過(1,0),故②正確;令拋物線解析式中y=0,得到關于x的一元二次方程,設方程的兩個解分別為x
1,x
2,利用根與系數(shù)的關系表示出x
1+x
2,x
1x
2,AB的長可以用|x
1-x
2|表示,利用二次根式的化簡根式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185751602320366/SYS201311011857516023203009_DA/0.png)
=|a|變形后,再利用完全平方公式化簡,將表示出的x
1+x
2及x
1x
2代入,化簡后根據m大于6,可得出AB的長大于1,故③正確;利用頂點坐標公式表示出拋物線的頂點坐標,代入y=-2(x-1)
2中經驗,可得出拋物線的頂點在y=-2(x-1)
2圖象上,故④正確,綜上,得到正確的序號.
解答:解:二次函數(shù)y=2x
2-mx+m-2,
∵a=2,b=-m,c=m-2,
∴b
2-4ac=(-m)
2-8(m-2)=(m-4)
2≥0,
則拋物線與x軸有交點,故①正確;
∵當x=1時,y=2-m+m-2=0,
∴不論m取何值,拋物線總經過點(1,0),故②正確;
設A的坐標為(x
1,0),B(x
2,0),
令y=0,得到2x
2-mx+m-2=0,
∴x
1+x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185751602320366/SYS201311011857516023203009_DA/1.png)
,x
1x
2=
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,
∴AB=|x
1-x
2|=
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=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185751602320366/SYS201311011857516023203009_DA/4.png)
=|
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|,
當m>6時,可得m-4>2,即
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>1,
∴AB>1,故③正確;
∵拋物線的頂點坐標為(
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,
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),
∴將x=
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代入得:y=-2(
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-1)
2=-2(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185751602320366/SYS201311011857516023203009_DA/11.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185751602320366/SYS201311011857516023203009_DA/12.png)
+1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131101185751602320366/SYS201311011857516023203009_DA/13.png)
,
∴拋物線的頂點坐標在y=-2(x-1)
2圖象上,故④正確,
綜上,正確的序號有①②③④.
故選A
點評:此題考查了拋物線與x軸的交點,以及二次函數(shù)的性質,涉及的知識有:拋物線與x軸交點的判斷方法,根與系數(shù)的關系,頂點坐標公式,以及判斷一個點是否在拋物線上,熟練掌握二次函數(shù)的性質是解本題的關鍵.