Question

如圖，矩形ABCD中，AD＜AB，P、Q分別為AD、BC的中點．N為DC上的一點，△AND沿直線AN對折，點D恰好與PQ上的M點重合．若AD、AB分別為方程x²-6x+8=0的兩根．
（1）求△AMN的外接圓的直徑；
（2）四邊形ADNM有內(nèi)切圓嗎？有則求出內(nèi)切圓的面積，沒有請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先解方程求出AD、AB，利用折疊前后圖形不變得出AM=AD=2，以及得出∠NAM=30°，進(jìn)而求出AN，即是Rt△AMN的外接圓直徑；
（2）首先得出I所在位置，得出四邊形IEDF為正方形，再利用三角形相似求出內(nèi)切圓的半徑．

解答：解：（1）x²-6x+8=0得x₁=2，x₂=4，

又AD、AB為方程的兩根，AD＜AB，
∴AD=2，AB=4，
∴AM=AD=2，AP=1，
在Rt△AMP中，∠PAM=60°，
∴∠PMA=30°，
∴∠NAM=30°，
在Rt△AMN中，AN=

2

cos30°

=

4 3

3

，即Rt△AMN的外接圓直徑為

4 3

3

．

（2）假設(shè)四邊形ADNM有內(nèi)切圓，由AN平分∠DAM知內(nèi)切圓圓心必在AN上，
設(shè)為I，作IE⊥AD于E，IF⊥DC于F，則四邊形IEDF為正方形，IE=IF=x，
∵Rt△AEI∽Rt△IFN，
∴

AE

AD

=

EI

DN

，
∴

2-x

2

=

x

2 3 3

，
∴x=

3

-1，
依題知點I到MN、AM的距離也為x，
∴點I為四邊形的內(nèi)切圓心，
其面積S=π（

3

-1）²=（4-2

3

）π．

點評：此題主要考查了一元二次方程的解法以及折疊圖形的性質(zhì)，以及三角函數(shù)知識和三角形內(nèi)心知識，題目綜合性較強，利用三角形相似求出內(nèi)切圓半徑是解決問題的關(guān)鍵．